\section{Euclid 二次域}
设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 为二次域， $O_{K}$ 为其整数环。 考虑 $O_{K}$ 中整数的因子分解问题。首先易知： 若 $\pi \in O_{K}$ 的范数 $N(\pi)$ 为有理素数， 则 $\pi$ 是 $O_{K}$ 中素数 (因为若 $\pi=$ $\beta \gamma$ 且若 $\beta, \gamma$ 非单位， 则 $N(\pi)=N(\beta) N(\gamma)$, 与 $N(\pi)$ 为素数矛盾).

任意整数 $\alpha \in O_{K}$ (非零， 非单位)可写为 $O_{K}$ 中素数的积（用数学归纳法： 若 $\alpha$ 不是素数， 则 $\alpha=\beta \gamma$. 再分解 $\beta, \gamma$, 如此进行， 直到不能分解 (即素数) 为止). 但是这种因子分解不一定是唯一的。 对许多二次域 $K$, 其整数环 $O_{K}$ 不是唯一析因环， 即 $K$ 中的 (代数) 整数不能唯一因子分解 (为 (代数) 素数之积).下面是最重要的一个例子。

\begin{example}%例1
设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, 则 $O_{K}$ 不是唯一析因环。 例如 $6 \in O_{K}$ 的素分解不唯一：
\[
2 \cdot 3=6=(1+\sqrt{-5}) \cdot(1-\sqrt{-5})
\]
我们要证明这是两种不同的素因子分解， 即证明以下几点：

(1) $2,3,1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}$ 都是 $O_{K}$ 中的素数。

(2) 2,3 与 $1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}$ 不是相结合的元素。

先看 (1), 若 $1+\sqrt{-5}$ 不是素数， 可设
\[
1+\sqrt{-5}=\beta \gamma \quad\left(\beta, \gamma \in O_{K} \text { 不是单位， } N(\beta), N(\gamma) \neq 1\right),
\]
取范数得 $6=N(\beta) N(\gamma)$, 故 $N(\beta)=2$ 或 3. 设 $\beta=a+b \sqrt{-5}(a, b \in \mathbb{Z})$, 则
\[
N(\beta)=a^{2}+5 b^{2}=2 \text { 或 } 3,
\]
此不可能。 同理可证其他三数为 $O_{\kappa}$ 中素数。

再看 $(2)$, 若 2 与 $1+\sqrt{-5}$ 相结合， 则 $(1+\sqrt{-5}) / 2$ 为单位， 这与
\[
(1+\sqrt{-5}) / 2
\]
不是整数矛盾 (见 § 7.4 定理 1 (1)). 同法可知 3 与 $1+\sqrt{-5}$ 等也非相结合。
\end{example}

\begin{example}%例2
设 $K=Q(\sqrt{-5})$, 则 $O_{K}$ 中不再有 Bézout 公式。 例如， $1+\sqrt{-5}$ 和 3 为不同素数 (上例已证), 故互素。 但不可能有 $u, v \in O_{K}$ 使 $u(1+\sqrt{-5})+3 v=1$.因为这意味着
\[
(a+b \sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})+3\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{-5}\right)=1
\]
即 $a-5 b+3 a_{2}=1, a+b+3 b_{2}=0$. 二式相减得 $3 \mid 1$, 不可能。
\end{example}

因此， 二次数域（乃至于一般数域） $K$ 的整数环 $O_{K}$ 中的因子分解问题， 需要进一步讨论： (i) 哪些域 $K$ 中的整数分解是唯一的， 哪些不是， 如何判断?  (ii) 对不能唯一分解的域， 有无补救办法， 性质如何 ?

对问题 (i), 首先要推广 $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[\mathrm{i}], \mathbb{Z}[\omega]$ 中使用的方法 (带余除法-辗转相除法), 得到充分条件 (Euclid 环); 其次要引人理想和类数的概念， 得到充分必要条件 (主理想环， 即类数等于 1). 对问题(ii), 要证明理想可以唯一分解， 研究理想和整数之间的关系(单位), 研究理想类群和类数， 进而研究更深人的内容。 当然， 我们在本书中只简单介绍前部分少许内容， 后部分渐渐深人引导到现代数论，有兴趣的读者可参看有关书籍(例如 [53]).

先讨论环 $R=O_{K}$ 何时是 Euclid 环，即与 $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[\mathrm{i}], \mathbb{Z}[\omega]$ 有类似性质。 以下提到的环，皆指含么交换环。

我们回忆， 整环就是没有零因子的含么交换环（定义见 § 2.2). 设 $R$ 为整环， 对其中元素 $a, b$, 若 $a=b c(c \in R)$, 则称 $b$ 整除 $a$, 记为 $b \mid a . R$ 中的可逆元称为其单位 $p \in R$ 称为不可约元 (irreducible element) 是指 $p$ 非零非单位，不能真分解 (即若 $p=b c(b, c \in R)$, 则 $b$ 或 $c$ 为单位).

\begin{definition}%定义1
(Euclid 整环) 设 $R$ 是整环。 若存在映射 $\varphi: R \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{N}$ (非负整数集) 满足如下(带余除法)性质：对任意 $a, b \in R, b \neq 0$, 必存在 $q, r \in R$ 使
\[
a=b q+r, \quad \text { 其中 } r=0 \text { 或 } \varphi(r)<\varphi(b),
\]
则称 $R$ 为 Euclid 整环 (Euclidean domain, ED), 称 $\varphi$ 为 Euclid 映射。
\end{definition}

（说明：以前许多文献中 Euclid 环的定义， 还附加其余条件， 例如 $\varphi(a b)$ $\geqslant \varphi(a)$, 或 $\varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)$ 等， 现在已证明都是不必要的。)

\begin{example}%例3
有理整数环 $R=\mathbb{Z}$ 是 Euclid 整环， Euclid 映射为 $\varphi(a)=|a|$ (绝对值).
\end{example}

\begin{example}%例4
域 $F$ 上的多项式 (形式) 环 $F[X]$ 是 Euclid 整环， Euclid 映射为 $\varphi(f(X))=\operatorname{deg} f(X)$.
\end{example}

\begin{example}%例5
Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 是 Euclid 整环， Euclid 映射 $\varphi(a)=N(a)$ (范数，见 §5.3 定理 1 ).
\end{example}

\begin{example}%例6
Eisenstein 整数环 $\mathbb{Z}[\omega]$ 是 Euclid 整环， Euclid 映射 $\varphi(a)=N(a)$ (范数， 见 87.1 定理 1).
\end{example}

\begin{definition}%定义2
(理想) 设 $R$ 是含么交换环， $J$ 是 $R$ 的子集合。 若 $J$ 是加法子群 (即对加、减法封闭) 且满足如下 (吸收律)：对任意 $a \in J, r \in R$, 必然 $r a \in J$,则称 $J$ 是 $R$ 的一个理想 (ideal).
\end{definition}

\begin{example}%例7
偶数集合是环 $\mathbb{Z}$ 的理想。 更一般地， 对任意整数 $m$, 集合
\[
m \mathbb{Z}=\{m k \mid k \in \mathbb{Z}\}
\]
(也写为 $\mathbb{Z} m$ ) 是 $\mathbb{Z}$ 的理想。
\end{example}

\begin{example}%例8
设 $R=\mathbb{R}[x, y]$ 是实系数二元多项式集， $J$ 为在原点取值为零（即 $f(0,0)=0)$ 的多项式 $f$ 集合， 则 $J$ 为 $\mathbb{R}[x, y]$ 的理想。 事实上， $J$ 即为常数项为 0 的多项式集， 或者说，
\[
J=\{x g+y h \mid g, h \in R\}
\]
\end{example}

\begin{example}%例9
对环 $R$ 中任意元素 $a_{1}, \cdots, a_{n}$, 如下集合是 $R$ 的理想：
\[
J=\left\{r_{1} a_{1}+\cdots+r_{n} a_{n} \mid r_{1}, \cdots, \quad r_{n} \in R\right\}
\]
称为 $a_{1}, \cdots, a_{n}$ 生成 (generate) 的理想。 记为 $J=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$, 或 $R a_{1}+\cdots$ $+R a_{n}$. 由一个元素生成的理想 (即一个元素的倍的集合), 称为主理想 (principal ideal). 例如， 例 7 中 $\mathbb{Z}$ 的理想 $\mathbb{Z} m$ 是 $m$ 生成的主理想。 例 8 中， $J=R x+R y$ 是 $x, y$ 生成的理想。 再如， $\mathbb{Z}$ 中 4,6 生成的理想
\[
J=(4,6)=\{4 s+6 t \mid s, t \in \mathbb{Z}\}=(2)=2 \mathbb{Z}
\]
实际上是由 2 生成的主理想——这是因为 6-4=2, 故 $2 \in J$, 而且 $J$ 中元 $4 s+6 t$属于 $2 \mathbb{Z}$.
\end{example}

环 $R$ 中子集 $S$ (可无限集) 生成的理想定义为
\[
(S)=\left\{r_{1} a_{1}+\cdots+r_{n} a_{n} \mid r_{i} \in R, n \in \mathbb{N}, i=1, \cdots, n\right\}
\]
(是有限和的集合).

\begin{definition}%定义3
(主理想整环) 设 $R$ 是整环，若 $R$ 的任意理想是主理想（即是一个元素的倍集), 则称 $R$ 为主理想整环 (principal ideal domain, PID).
\end{definition}

注意， 若 $R$ 是主理想整环， 则 $R$ 中任两元素有最大公因子， 且 Bézout 等式成立。 事实上， 对任意 $a, b \in R$, 理想 $R a+R b$ 为主理想， 故存在 $d \in R$ 使得
\[
R a+R b=R d
\]
从而
\[
d \in R a+R b
\]
故
\[
d=u a+v b \text { （对某 } u, v \in R),
\]
$d$ 显然是 $a, b$ 的最大公因子（因 $a+0 b \in R d$ ). 反之， 若 $R$ 中 Bézout 等式成立，则 $R$ 中有限个元素生成的理想都是主理想 (可以证明， 代数数域 $K(见 \S 7.3$ 定义 2 和定理 1) 中的整数环 $O_{K}$ 中任一理想可由两个元素生成).

\begin{definition}%定义4
(唯一析因整环) 设 $R$ 是整环， 若 $R$ 中任一非零、非单位元素可唯一地写为有限个不可约元之积， 则称 $R$ 是唯一析因整环 (unique factorization domain, UFD), 其中 “唯一” 是在不计乘积次序和单位倍意义下。UFD 中的不可约元也称为素元 (prime element).
\end{definition}

\begin{theorem}%定理1
Euclid 整环是主理想整环。 主理想整环是唯一析因整环。 用符号表示为
\[
\mathrm{ED} \Rightarrow \mathrm{PID} \Rightarrow \mathrm{UFD}
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
 (1) $\mathrm{ED} \Rightarrow \mathrm{PID}$ 之证：设 $R$ 是 Euclid 整环， $\varphi$ 为其 Euclid 映射， $J$ 是其任一非零理想。 注意 $\{\varphi(b) \mid 0 \neq b \in J\}$ 必有最小值 (因为它是非负整数集的子集), 设其最小值为 $\varphi\left(b_{1}\right)\left(0 \neq b_{1} \in J\right)$. 对任意 $a \in J$, 有带余除法
\[
a=b_{1} q+r, \quad \text { 且 } r=0 \text { 或 } \varphi(r)<\varphi\left(b_{1}\right).
\]
于是 $r=a-b_{1} q \in J$ (由理想定义), 故 $\varphi(r) \geqslant \varphi\left(b_{1}\right)$ (因 $\varphi\left(b_{1}\right)$ 最小), 故知 $r=0$, $a=b_{1} q$. 故 $J=R b_{1}$ 是主理想。 从而 $R$ 是主理想整环。

(2) $\mathrm{PID} \Rightarrow \mathrm{UFD}$ 之证： 先证任意 $a \in R$ (非零， 非单位)可分解为不可约元素的乘积。 若 $a$ 为不可约元， 则 $a=a$ 已是分解。 若 $a$ 可约， 这意味着 $a=a_{1} a_{1}^{\prime}$且 $a_{1}, a_{1}^{\prime}$ 均非单位。 若 $a_{1}, a_{1}^{\prime}$ 均不可约， 则 $a=a_{1} a_{1}^{\prime}$ 已是分解; 否则设 $a_{1}$ 可约， 则
\[
a_{1}=a_{2} a_{2}^{\prime}
\]
如此续行， 则可得到一个元素序列
\[
a, \quad a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \cdots
\]
(其中 $a_{i+1}$ 是 $a_{i}$ 的真因子， $a_{0}=a$ ). 只要证明这种序列不可能是无限长的， 也就证明了 $a$ 的因子分解的存在性。 考虑集合
\[
J=R a_{0} \cup R a_{1} \cup R a_{2} \cup \cdots
\]
显然 $J$ 是 $R$ 的理想（其两元素之和 $r_{i} a_{i}+r_{j} a_{j}$ (设 $i \leqslant j$ )属于 $R a_{j} \subset J$, 因为 $a_{j} \mid a_{i}$ ).因 $R$ 是 PID, 故 $J=R d$ (对某 $d \in J$ ). 故存在 $i$ 使 $d \in R a_{i}$. 当 $j>i$ 时， 对任意 $b \in R a_{j} \subset J=R d$, 必有 $r \in R$ 使 $b=r d \in R a_{i}$ (后者因 $d \in R a_{i}$ ); 这意味着 $R a_{j} \subset$ $R a_{i}$, 即 $a_{j}=r_{1} a_{i}\left(r_{1} \in R\right)$. 这与 $a_{j}$ 是 $a_{i}$ 的真因子矛盾。 这就证明了 $R$ 中元素因子分解的存在性。

再证任意 $a \in R$ (非零， 非单位)的不可约因子分解是唯一的。 我们只要证明如下引理， 则其余可像 1.3 定理 1 对 $\mathbb{Z}$, 和 85.3 节定理 3 对 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 样证明。
\end{proof}

\begin{lemma}%引理1
设 $R$ 为 PID, $p$ 为其不可约元 (或称素元). 若 $p \mid b c(b, c \in R)$,则 $p \mid b$ 或 $p \mid c$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 理想 $R p+R b$ 应为主理想， 设为 $R p+R b=R d$, 则 $p+0 b=r d$. 因 $p$ 不可约， 故 $d=u_{1} p$ 或 $u_{2}\left(u_{1}, u_{2}\right.$ 为 $R$ 的单位 $)$. 若 $d=u_{1} p$, 则 $R p+R b=R u_{1} p, p \mid b$. 而若 $d=u_{2}$, 则 $R p+R b=R d=R$, 故有 $u, v \in R$ 使 $u p+v b=1, u p c+v b c=c$, 因 $p \mid b c$,故 $p \mid$ 左边， 故 $p \mid c$.
\end{proof}

由例 3 ~ 例 6 可知， $\mathbb{Z}, F[X], \mathbb{Z}[\mathrm{i}], \mathbb{Z}[\omega]$ 都是 $\mathrm{ED}$, 故都是 PID, 都是 UFD.

设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 为二次域。 若整数环 $O_{K}$ 为 Euclid 环， 则称 $K$ 为 Euclid 域。正像在讨论 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}], \mathbb{Z}[\omega]$ 时一样， 古典的讨论是以范数为 Euclid 映射的。 我们也先尝试以范数为 Euclid 映射。 为了顾及实二次域， 对 $\alpha=a+b \sqrt{d}(a, b \in$ Q), 先考虑
\[
\varphi(\alpha)=|N(\alpha)|=\left|a^{2}-d b^{2}\right|
\]
即考虑以范数 (的绝对值) 为 Euclid 映射的可能性。 然后才考虑其他映射为 Euclid 映射的可能性。

\begin{theorem}%定理2
对二次域 $K=Q(\sqrt{d})$, 以范数 $\varphi(\alpha)=|N(\alpha)|$ 为 Euclid 映射的 Euclid 域恰有如下 21 个：
\[
d=-1, \quad-2, \quad-3, \quad-7, \quad-11
\]
\[
\begin{aligned}
& 2, \quad 3, \quad 5, \quad 6, \quad 7, \quad 11, \quad 13 \\
& 17, \quad 19, \quad 21, \quad 29, \quad 33, \quad 37, \quad 41, \quad 57, \quad 73 .
\end{aligned}
\]
而且， 对于虚二次域， 不再有其他的 Euclid 域（对任何可能的 Euclid 映射而言) ; 而对于实二次域， 尚不确定是否有对别的 Euclid 映射为 Euclid 域者).
\end{theorem}

\begin{proof}
 我们只能证明定理的一部分。 $O_{K}$ 是 Euclid 环意味着， 对 $\alpha, \beta \in O_{K}$, $\beta \neq 0$, 可求得 $q, r \in O_{K}$ 使
\[
\alpha=q \beta+r, \quad \text { 且 } r=0 \text { 或 } \varphi(r)<\varphi(\beta).
\]
现若 $\varphi(\alpha)=|N(\alpha)|$, 则上述后面条件化为 $|N(r)|<|N(\beta)|$, 即为
\[
|N(\theta-q)|<1 \quad(\theta=\alpha / \beta \in K)
\]
首先设 $d \equiv 2$ 或 $3(\bmod 4)$, 则可记
\[
\theta=a+b \sqrt{d}, \quad q=x+y \sqrt{d} \quad(a, b \in \mathbb{Q}, x, y \in \mathbb{Z})
\]
记 $c=a-x, s=b-y$, 则条件化为
\begin{equation*}
|N(\theta-q)|=|N(c+s \sqrt{d})|=\left|c^{2}-d s^{2}\right|<1 \tag{1}
\end{equation*}
我们可取得 $x, y$ 使 $|c| \leqslant 1 / 2,|s| \leqslant 1 / 2$, 则 (1) 式对 $d=-1,-2,2,3$ 显然成立。 于是相应的 4 个域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 是 Euclid 域。

再设 $d \equiv 1(\bmod 4)$, 于是可记
\[
\begin{gathered}
\theta=a+b(1+\sqrt{d}) / 2 \\
q=x+y(1+\sqrt{d}) / 2 \\
c=a-x, s=b-y \quad(a, \quad b \in \mathbb{Q}, x, \quad y \in \mathbb{Z})
\end{gathered}
\]
条件 $|N(r)|<|N(\beta)|$ 化为
\begin{align*}
|N(\theta-q)| & =|N(c+s(1+\sqrt{d}) / 2)| \\
& =\left|(c+s / 2)^{2}-d(s / 2)^{2}\right|<1 \tag{2}
\end{align*}
显然我们可取 $y$ 使 $|s| \leqslant 1 / 2$. 然后取 $x$ 使
\[
|c+s / 2|=|a+b / 2-y / 2-x| \leqslant 1 / 2
\]
所以， 当 $d=-11,-7,-3,5,13$ 时， 域 $Q(\sqrt{d})$ 是 Euclid 域。 而且我们知道对其余负数 $d$,  (2) 式不成立。
\end{proof}

对 Euclid 域二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (例如定理 2 中列出的 21 个域), 因为有带余除法， 故都可以像 Gauss 数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 或 Eisenstein 数域 $Q(\sqrt{-3})$ 一样， 引人辗转相除法， 讨论因子分解， 决定出它们中的素数 (不可约元), 并对不定方程有类似的应用 (像在第五章和 87.1 完全一样).

\begin{theorem}%定理1
和定理 2 给出了二次域是 UFD 的充分条件， 和满足条件的 Euclid
域。 下节给出充分必要条件。
\end{theorem}

